Максим Рубцов родился в Брянске в 1977 году. Окончил Колледж имени Гнесиных, Московскую Государственную Консерваторию имени П. И. Чайковского и аспирантуру МГК.
с 1999 года артист, а позднее концертмейстер группы флейт Российского национального оркестра в составе которого записал множество сольных партий на дисках лейблов Deutsche Grammophon и PentaTone Classics. Выпустил также сольный альбом Russian Romance (Blue Griffin Recording).
Его партнёрами по сцене были Михаил Плетнёв, Денис Мацуев, Джошуа Белл, Владимир Юровский, Теодор Курентзис и многие другие. Активно гастролирует в России и за рубежом, ведёт преподавательскую деятельность в России, США, Великобритании, Бразилии, Израиле, Сингапуре, ОАЭ, является инициатором создания международной флейтовой школы в Китае.
С 2018 года является Артистом Yamaha (играет на флейте-пикколо YPC-62). Заслуженный артист Российской федерации.