Родился в 1988 году в Ереване в музыкальной семье: отец — скрипач, мать — пианистка. Начал обучение игре на виолончели в ереванской школе имени Саят-Новы. В возрасте 11 лет переехал в Москву, где продолжил профессиональное образование.
Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (класс Алексея Селезнёва), затем совершенствовал мастерство в New England Conservatory в Бостоне у Лоуренса Лессера, где получил степень Artist Diploma. Лауреат стипендий Фонда Мстислава Ростроповича и других профессиональных фондов.
В 2011 году стал победителем XIV Международного конкурса имени П. И. Чайковского, получив первую премию и золотую медаль в категории «виолончель». После этого начал активную концертную деятельность как солист с симфоническими оркестрами Европы, США и Азии, сотрудничая с ведущими дирижёрами и выступая в крупнейших концертных залах, включая Carnegie Hall, Concertgebouw, Wigmore Hall, Salle Pleyel и другие.
С 2014 по 2016 год участвовал в программе BBC New Generation Artists. В 2017 году удостоен звания Заслуженного артиста Республики Армения и награждён медалью Мовсеса Хоренаци за вклад в развитие культуры.
Нарек Ахназарян активно работает и в области камерной музыки, участвует в фестивальных проектах, сотрудничает с современными композиторами. В последние годы расширяет сферу деятельности, включая дирижёрскую практику и работу с оркестровыми инициативами, совмещая её с концертной и педагогической деятельностью.